Forme exponentielle, forme algébrique - Corrigé

Énoncé

Soit `z=1-i` .

1. Écrire `z`  sous forme exponentielle.

2. En déduire la forme algébrique des nombres :
    a.  `z_1=(1-i)^7`
    b.  `z_2=(1-i)^7+(1+i)^7`
    c.  `z_3=(1-i)^7-(1+i)^7`

Solution

1. \(z = \sqrt{2} \text e^{-\frac{i\pi}{4}} .\)

2. a.  On a `z_1=z^7` donc
\(z_1= \left( \sqrt{2} \text e^{\frac{-i\pi}{4}}\right)^7= (\sqrt{2})^7 \text e^{\frac{-7i\pi}{4}}= 8 \sqrt{2} \text e^{\frac{i\pi}{4}}= 8 \sqrt{2} \left( \cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)= 8 \sqrt{2} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)= 8+8i\) et donc `z_1=8+8i` .
    b. On a  \(z_2=z^7+\overline{z}^7=z^7+\overline{z^7}=z_1+\overline{z_1}=2\text R\text e(z_1)=2 \times 8=16\) .
    c. On a  \(z_3=z^7-\overline{z}^7=z^7-\overline{z^7}=z_1-\overline{z_1}=2i\text I\text m(z_1)=2i \times8=16i\) .